月度归档:2018年03月

线性代数回头看——线性方程组

1、线性方程组概述

线性方程组:包含未知数x1,x2,x3….xn的线性方程

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  其中b与系数a1,a2,a3…an是实数或复数,通常是已知的;下标n可以为任意数;线程方程组为由一个或几个包含相同变量x1,x2,x3….xn的线性方程组组成;
线性方程组的解分为相容、与不相容两种情况;
  相容: 1、唯一解;2、无穷解
  不相容: 无解

线性方程组矩阵表示
  可以使用矩阵来表示线性方程组:
  系数矩阵:只包含方程组系数的矩阵
  增广矩阵:在系数矩阵的基础上加上线性方程组右边的常数组成的矩阵

2、解线性方程组

  通过使用矩阵表示线性方程组,对矩阵使用行初等变换,把矩阵行化简为:行阶梯形矩阵或简化行阶梯形矩阵;

初等行变换:
  1、倍加变换——把某行换成它本身与另一行的倍数和
  2、对换变换——两行对换
  3、倍乘变换——某一行的所有元素乘以同一个非零数
行阶梯形矩阵:
  1、每一非零行在每一零行之上
  2、某一行的最左边非零元素所在列在上面一行非零元素的右边
  3、某一最左边非零元素所在列下方都是零
  简化阶梯形为在行阶梯形矩阵的基础上进一步简化:
  1、每一非零行最左边非零元素为1
  2、每一最左边非零元素1是该元素所在列的唯一非零元素
同一个矩阵使用不同的方法化简,存在不同的行阶梯形,但简化阶梯形只存在一个;

行阶梯形相关概念:

  主元位置:最左边非零元素位置
  主元列:主元所在列
  主元:主元位置的非零元素

  线性方程组行简化后不一定每个方程组都存在解,若存在解则称该线性方程组相容,线性方程组相容,当且仅当:化简后的增广矩阵最右列不是主元列;
  根据行简化得到行阶梯形矩阵或简化行阶梯形矩阵,我们可以把线性方程组中的变量称为:基本变量、自由变量;

  基本变量:主元列所在的变量
  自由变量:非主元列的变量

3、线性组合

  A为m*n矩阵,矩阵各列为:a1、a2、a3…、an,x为Rn中的向量,则A与x的乘积为Ax,为A的各列以x对应元素为权的线性组合;

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线性方程Ax=b,有解当且仅当b为矩阵A各列的线性组合;

齐次线性方程组:

若线性方程组可以写成Ax=0的形式,则该线性方程组为齐次的;

  平凡解:若Ax=0仅有x=0一个解,也称为平凡解
  非平凡解:若Ax=0存在一个非x=0的解,即x为非零向量

Ax=0有非平凡解,当且仅当线性方程至少存在一个自由变量

4、线性无关

线性无关:矩阵的各列线性无关,仅当Ax=0仅存在平凡解时成立
线性相关: Ax=0存在非平凡解

一个或两个向量集合:
  存在其中一个向量是另一个向量的倍数时线性相关,否则线性无关;
两个或更多向量集合:
  1、向量集合中至少有一个向量是其他的线性组合
  2、向量组的个数超过每个向量元素的个数
  A为n*p矩阵,Ax=0方程有p个未知量,n个方程,若p>n,必定存在自由变量,Ax=0必存在非平凡解,所以A的各列线性相关;
  3、向量组包含零向量
满足这三个条件则线性相关;

参考资料:
线性代数及应用